本书为日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以很小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。此外，本书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者则从各章的主要脉络上，为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。
本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理、金融等领域的研究者的参考资料。
章概率论的基本概念1
1概率空间的定义1
2概率空间的实际意义3
3概率测度的简单性质5
4事件，条件，推断10
5随机变量的定义12
6随机变量的合成与随机变量的函数15
7随机变量序列的收敛性16
8条件概率、相依性与独立性21
9均值26
第2章实值随机变量的概率分布29
10实值随机变量的表现29
11R-概率测度的表现32
12R-概率测度之间的距离33
13R-概率测度集合的拓扑性质35
14R-概率测度的数字特征38
15独立随机变量的和，R-概率测度的卷积43
16特征函数46
17R-概率测度及其特征函数的拓扑关系50
第3章概率空间的构成54
18建立概率空间的必要性54
19扩张定理(I)55
20扩张定理(II)57
21Markov链59
第4章大数定律63
22大数定律的数学表现63
23Bernoulli大数定律65
24中心极限定理66
25强大数定律69
26无规则性的含义73
27无规则性的证明76
28统计分布81
29重对数律与遍历定理82
第5章随机变量序列84
30一般的问题84
31条件概率分布85
32单纯Markov过程与转移概率族87
33遍历问题的简单例子89
34遍历定理92
第6章随机过程99
35随机过程的定义99
36Markov过程101
37时空齐次的Markov过程(I)103
38时空齐次的Markov过程(II)112
39一般Markov过程与平稳过程115
附录1符号119
附录2参考文献121
附录3后记与评注122
概要与背景124
索引144
伊藤清
1915—2008，日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获1987年的沃尔夫奖，并于1998年获得京都奖，2006年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。著有《概率论》《随机过程》《我与概率论：伊藤清文集》等。
